In matematica, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, nota anche come disuguaglianza di Schwarz o disuguaglianza di Bunyakovsky, è una disuguaglianza che compare in algebra lineare e si applica in molti altri settori, quali ad esempio l'analisi funzionale e la probabilità.
Proposta inizialmente da Augustin-Louis Cauchy, la formulazione integrale della disuguaglianza è dovuta a Viktor Bunyakovsky (1859), e si può trovare anche nei lavori di Hermann Amandus Schwarz a partire dal 1884.
Negli spazi Lp la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz è un caso particolare della disuguaglianza di Hölder.
Sia
uno spazio prehilbertiano, cioè uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo, o uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto hermitiano. La disuguaglianza asserisce che il valore assoluto del prodotto scalare di due elementi è minore o uguale al prodotto delle loro norme. Formalmente:
![{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742e0b3fff707494bc94b4e9cc2d0b2b1a12e81c)
con l'uguaglianza che sussiste solo se
e
sono multipli (giacciono cioè sulla stessa retta).
In forma integrale:
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\ dx\right|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\ dx\cdot \int _{a}^{b}|g(x)|^{2}\ dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e169c4d11264d66a2257d65879e36c0f7026bc)
con
e
funzioni quadrato sommabile in
, che formano lo spazio di Hilbert L2. Una generalizzazione di questa disuguaglianza è la disuguaglianza di Hölder.
Nello spazio euclideo
si ha:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed7585c4a3fa7684bdfccefb3578fe682b2669f)
In dimensione 3, la disuguaglianza è conseguenza della seguente uguaglianza:
![{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}+\left\|\mathbf {x} \times \mathbf {y} \right\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2a2bdfc84aee6293ab3b68e6d4be8209b5a1ca)
dove l'operazione binaria
indica il prodotto vettoriale.
La disuguaglianza vale quindi ad esempio nello spazio euclideo
-dimensionale e negli spazi di Hilbert a dimensione infinita.
Nel piano, la disuguaglianza segue dalla relazione:
![{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |=\left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\cdot |\cos \theta |,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23854b70890aeda56e0cc996da74215fdbcd9c28)
dove
è l'angolo fra i due vettori
e
. Si estende quindi questa relazione a un qualsiasi spazio vettoriale con prodotto scalare, usandola per definire l'angolo fra due vettori
e
come il
che realizza l'uguaglianza.
Tra le conseguenze importanti della disuguaglianza si trovano:
Siano
,
vettori arbitrari in uno spazio vettoriale
su un campo
con un prodotto scalare (formando così uno spazio prodotto interno), e sia
il campo reale o complesso. Dimostriamo la disuguaglianza
![{\displaystyle {\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \left\|u\right\|\left\|v\right\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ad549dd44cc2f0c2bff26aeaa007177a3a95a6)
dove l'identità vale se e solo se
e
sono multipli fra di loro.
Se
è banalmente provata l'uguaglianza, ed in questo caso
e
sono linearmente dipendenti (multipli l'uno dell'altro) a prescindere da
. Possiamo quindi assumere
non nullo. Assumiamo anche
, altrimenti la disuguaglianza è ovviamente verificata, perché né
né
possono essere negativi.
Sia
il vettore ortogonale a
(si veda ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) così definito:
![{\displaystyle z=u-u_{v}=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e327de9a1a48b4dcb78ceb6012bb9b56aca7cc1)
Quindi
![{\displaystyle u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641cb7cdfcb83eb87432d6d69f466f168b044c14)
Per bilinearità e simmetria del prodotto scalare e per ortogonalità di
e
si ha che
![{\displaystyle \left\|u\right\|^{2}=\langle u,u\rangle =\langle {\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z\rangle =\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\left\|v\right\|^{2}+\left\|z\right\|^{2}+2\mathrm {Re} \langle z,{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v\rangle ={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}}+\left\|z\right\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a1a78b4f6839c910ba1c8374dd059017bfde0b)
da cui, moltiplicando entrambi i membri per
,
![{\displaystyle \left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}\geq \ |\langle u,v\rangle |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efbb3db3809a473d29dbbaaa452ab04d772029d)
Poiché la norma e il valore assoluto sono non negativi (i quadrati di quantità non negative sono ordinati come le proprie basi), prendendo la radice quadrata di ambo i membri si ottiene
QED.
La disuguaglianza risulta banalmente vera per
, quindi si assume
diverso da zero. Sia
un numero complesso. Si ha:
![{\displaystyle 0\leq \left\|\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \right\|^{2}=\langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3beba93feee38a5b771fe7273b8a813b74e5a8cb)
![{\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\lambda }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +|\lambda |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc143de044c39a31d05360a412c12995d39610e6)
Scegliendo
, e ricordando che ![{\displaystyle |\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653c08cc9c0f439cb63c1251d5a2902af8626af7)
si ottiene:
![{\displaystyle 0\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4fa85104dc9890211c15815767116e86342b72)
![{\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443a5a63904b55c39719ba8c23a51f0d3b46da63)
![{\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478ab3c02c139a135bce265250dff077c23d56a5)
![{\displaystyle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f4ee79c22908288e30776d5a6dd35fa6052b08)
che vale se e solo se
![{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5100164b929cdf97e0b3604afb5411a52eaa5388)
o equivalentemente
![{\displaystyle {\big |}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\big |}\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b041f7ecb64824e6d95a4d12e9315b45f0a1f7)
Si consideri un polinomio di secondo grado in
del tipo:
![{\displaystyle p(x)=(a_{1}+b_{1}x)^{2}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e3e7f386736069505317d68f54ac49c7b1822f)
che non ha radici reali tranne nel caso in cui gli
e i
sono tutti uguali fra loro, o se data una coppia
sussiste un legame di proporzionalità con tutte le coppie
(cioè per ogni
esiste
tale che
e
). In tal caso la radice è:
![{\displaystyle x=-{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=-{\frac {a_{j}}{b_{j}}}=-{\frac {ma_{i}}{mb_{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd0e642f0f3b387bc302444f9745b8794888a83)
Sviluppando i quadrati si ottiene:
![{\displaystyle p(x)=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+\ldots +a_{n}^{2}+b_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x=\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)x+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3bbe2c978882fb32401c0f000cec138ec5fb7b5)
Poiché il polinomio ha una o nessuna radice, il discriminante dev'essere minore o uguale a 0. Quindi:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\leq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48aa4288e7340d53e3cea16af7a86fa05f2c9a6d)
da cui si ricava:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62ddb08d3e448a861515eec30ca7cbfdcbeb297)
che è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
- Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
- (EN) Cauchy-Schwarz inequality, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
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- (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, su MathWorld, Wolfram Research.
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- (EN) V.I. Bityutskov, Bunyakovskii inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.