In matematica, il permanente di una matrice quadrata
di ordine
, di elementi
è definito come
![{\displaystyle \operatorname {perm} (A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma _{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0127760a6c8389aefe56f7f5c2533a7f270bd355)
dove
rappresenta una permutazione, ovvero un elemento del gruppo simmetrico
. La definizione ricorda quella molto simile di determinante: ci sono gli stessi addendi, ma con l'unica differenza che nel determinante sono alcuni col segno più e altri col segno meno, nel permanente sono tutti col segno più. Di fatto, come quest'ultimo, il permanente è un caso particolare di immanente, una più generale operazione su matrici di ordine
.
Al contrario del determinante, il permanente non ha una semplice interpretazione geometrica. Esso è usato principalmente in combinatoria e nello studio dei bosoni.
Considerando il permanente come una funzione i cui argomenti sono
vettori, esso è una applicazione multilineare ed è simmetrica.
Sia
una matrice quadrata di ordine
si ha:
è invariante rispetto a permutazioni arbitrarie di righe o colonne di
;
- moltiplicando una riga o una colonna di
per uno scalare
anche il permanente viene moltiplicato per
;
è invariante rispetto alla trasposizione, cioè
.
Se
e
sono matrici quadrate di ordine
, allora
![{\displaystyle \operatorname {perm} (A+B)=\sum _{I,J}\operatorname {perm} (a_{ij})_{i\in I,j\in J}\operatorname {perm} (b_{ij})_{i\in {\bar {I}},j\in {\bar {J}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6f4027406cd1aae3b2bf30edf01186f411e8c9)
dove
e
sono sottoinsiemi di
che hanno la stessa cardinalità e
e
sono i rispettivi complementari in tale insieme.
D'altra parte la proprietà moltiplicativa del determinante non è soddisfatta dal permanente. Ad esempio:
![{\displaystyle 4=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\neq \operatorname {perm} \left(\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}}\right)\right)=\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}2&2\\2&2\end{matrix}}\right)=8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf2b80125729861e72cc44360cf2dec1daba7ea)
Per il calcolo del permanente è valida una formula simile allo sviluppo di Laplace del determinante, in cui tutti i segni dei minori sono positivi. Per esempio, sviluppando lungo la prima colonna la seguente matrice si ha
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+2\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+\ 3\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)+4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)=\\&=1(1)+2(1)+3(1)+4(1)=10,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2a22d32ac056ae8383b71239d159c87ae029bd)
mentre sviluppando rispetto all'ultima riga si ha
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1&1\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{matrix}}\right)&=4\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{matrix}}\right)+0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&0&0\\3&1&0\end{matrix}}\right)+\ 0\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&0\end{matrix}}\right)+1\cdot \operatorname {perm} \left({\begin{matrix}1&1&1\\2&1&0\\3&0&1\end{matrix}}\right)=\\&=4(1)+0+0+1(6)=10.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934c016885ab6b0515f5bd79d3973a9f2334b0f4)
In meccanica quantistica, in sistemi a molti bosoni, il permanente può essere utilizzato per determinare uno stato completamente simmetrico che descriva una particolare configurazione del sistema, in modo del tutto analogo al determinante di Slater per i sistemi a molti fermioni.